ANALISIS KOMPONEN SIMETRIS

Tiga fasor tak seimbang dari sistem tiga-fasa dapat diuraikan menjadi tiga sistem fasor yang seimbang. Himpunan seimbang komponen itu adalah :
1.Komponen urutan-positif (positive sequence components) yang terdiri dari tiga fasor yang sama besarnya, terpisah satu dengan yang lainnya dalam fasa sebesar 1200 , dan mempunyai urutan fasa yang sama seperti fasor aslinya.
2.Komponen urutan-negatif (negative sequence components) yang terdiri dari tiga fasor yang sama besarnya, terpisah satu dengan yang lain dalam fasa sebesar 1200, dan mempunyai urutan fasa yang berlawanan dengan fasor aslinya.
3.Komponen urutan-nol yang terdiri dari tiga fasor yang sama besarnya dan dengan pergeseran fasa nol antara fasa yang satu dengan yang lain.

Gambar 1
Sedangkan fasor tak seimbang dari ketiga komponen tersebut adalah :

Gambar 2
Karena setiap fasor tak seimbang, yang asli adalah jumlah komponen, fasor asli yang dinyatakan dalam suku-suku komponennya adalah :
(1)
(2)
(3)
Pada sistem tiga fasa yang simetris, ketiga vektor itu sama besarnya dan tergeser 120o satu dengan yang lainnya. Sebagai pengganti putaran 120o itu dipilih satu operator dengan simbol ( a ).
Di definisikan bahwa :
a = - + j = 120 0 = e

Gambar 3
Hubungan urutan positif dan negatif

(4)

Maka:
(5)
(6)
(7)
Jika dibuat dalam matrik :
(8)
Untuk mendapatkan nilai , dan , matrik operator dikalikan denagn matrik inversnya, begitu juga dengan matrik I. Jika matrik operator dilambangkan dengan A,
(9)
Maka matrik inversnya adalah
(10)
Maka
(11)
Dari persamaan matrik dapat diperoleh :
(12)
(13)
(14)
Pada akhirnya hasil tersebut dapat digunakan untuk arus phase dari rangkaian dengan mengganti Ia, Ib dan Ic dengan Iab, Ibc dan Ica.

Contoh 1:
Salah satu penghantar 3 phase terbuka. Arus yang mengalir ke beban terhubung melalui saluran a adalah 10A. Dengan arus dalam saluran a sebagai pedoman dan misalkan saluran c terbuka, cari komponen simetris dari arus salurannya.
Solusi :

Gambar 4
Ia = 10 0° A, Ib = 10 180° A, Ic = 0 A.
Komponen simetrisnya :

Maka :

untuk sistem 3 kawat.

Rangkaian Simetris Y dan
Pada rangkaian siatem 3 phasa, elemen-elemennya terhubung diantara line a, b, dan c pada konfigurasi Y ataupun . Hubungan antara komponen simetris dari arus dan tegangan Y dan dapat ditetapkan dengan memperhatikan gambar

Gambar 5
yang memperlihatkan impedansi simetris terhubung Y dan . Phasa referensi untuk kuantitas adalah cabang dari a-b.

(15)

Dengan menjumlahkan semua persamaan dari ketiganya dan didefinisikan dari arus urutan nol , yang berarti bahwa arus phase menuju a pada rangkaian tidak terdapat arus urutan nol. Dengan mensubstitusi komponen dari arus pada persamaan diatas untuk dihasilkan :
(16)
Nilai non zero dari perputaran arus pada rangkaian tidak dapat ditentukan dari arus itu sendiri. Didapat bahwa dan , maka persamaan (16) menjadi :
(17)
Persamaan yang mirip dengan phasa b adalah dan pernyataan dan sama dengan persamaan dan, menghasilkan persamaan yang dipecahkan dari perhitungan (17) yaitu :
(18)
Persamaan tersebut digunakan untuk menghitung arus dari urutan yang sama pada persamaan (17). Komponen urutan positif dan negative dari arus diperlihatkan di diagram fasor pada gambar berikut :

Gambar 6
Dengan cara yang sama, tegangan dari line ke line dapat dituliskan dalam persamaan tegangan phase ke netral dalam sistem hubungan Y,

(19)

Dengan menjumlahkan semua persamaan dari ketiganya diperoleh bahwa . Tegangan phasa ke phasa tidak mempunyai komponen urutan nol. Dengan mensubstitusikan komponen dari tegangan ke dalam rumus , dihasilkan :
(20)
Karena itu, nilai non zero dari tegangan urutan nol tidak dapat ditentukan dari tegangan phasa ke phasa itu sendiri. Kuantitas urutan positif dan negative diterangkan di persamaan (17), maka diperoleh :

(21)
Komponen dari tegangan urutan positif dan negative diperlihatkan didiagram fasor pada gambar 6(b) . Jika kesemuanya dihitung dalam p.u. maka dihilangkan dari persamaan (21).
Dari gambar 5 didapatkan bahwa dimana tidak ada sumber dalam rangkaian . Maka urutan positif dan negatif dari keduanya didapatkan:
(22)
Disubstitusikan dari persamaan (18) dan (21) kita peroleh:

Maka :
(23)
Yang diperlihatkan bahwa impedansi hubung , adalah perbandingan perphasa atau impedansi hubung Y, dari gambar berikut :

Gambar 7
Hubungan adalah benar ketika impedansi dan yang keduanya dinyatakan dalam ohm atau p.u. pada kilovoltampere (kVA) dan tegangan basis yang sama.

Contoh 2:
Tiga resistor identik hubungan Y dengan sumber tegangan tiga phasa 2300 V dan 500 kVA. Jika beban diberi tegangan :

Cari tegangan dan arus phasa dalam p.u. ke beban. Asumsi bahwa netral dari beban tidak terhubung ke netral dari sistem dan dipilih 2300 V dan 500 kVA sebagai basenya.
Solusi :
Maka dalam p.u. sebagai berikut :

Asumsi sudut 180° untuk Vca dan gunakan rumus cosinus untuk mencari sudut dari tegangan phase lainnya, maka nilai p.u. adalah :

Komponen simetris dari tegangan phase adalah :

p.u.

p.u.
Tidak adanya hubungan netral berarti bahwa arus urutan nol tidak ada. Karena itu, tegangan phase pada muatan beban hanya komponen urutan positif dan negatif saja.
Kemudian,
per unit (basis tegangan phase-netral)
per unit (basis tegangan phase-netral)
Karena masing-masing resistor mempunyai impedansi per unit
per unit
per unit
Arah arus positif dipilih dari sumber terhadap beban.

Daya Pada Komponen Simetris
Jika komponen simetris dari arus dan tegangan diketahui, daya pada rangkaian tiga phasa dapat dihitung secara langsung dari komponen. Ini didapat dari manipulasi matrik komponen simetris.
Aliran daya total kompleks di dalam rangkaian tiga phasa dilewatkan melalui tiga phasa yaitu a, b dan c.
(24)
Dimana Va, Vb dan Vc adalah tegangan referensi pada terminal dan Ia, Ib dan Ic adalah arus pada rangkaian 3 phasa. Sambungan netral boleh ditulis ataupun tidak. Jika impedansi di netral dihubung ke ground lalu tegangan Va, Vb dan Vc diinterpretasikan sebagai tegangan dari phasa ke ground. Notasi matriksnya :
(25)
Dimana konjugate dari matrik dapat dipahami dengan menyusun elemen yang konjugate dari elemen yang berhubungan dengan matriks aslinya.
Untuk memasukkan komponen simetris dari tegangan dan arus, digunakan persamaan (8) sehingga diperoleh :
(26)
Dimana,
= dan = (27)
Cara pembalikan dari aljabar matriks yaitu dengan memindahkan hasil dari dua matrik yang sama ke dalam hasil dari perpindahan pada matrik pada urutan sebaliknya, yaitu sebagai berikut :
(28)
(29)
Dengan catatan bahwa dan bahwa a dan a2 adalah konjugate, diperoleh :
(30)
Karena

(31)
Maka daya kompleksnya adalah :
(32)
Diperlihatkan bahwa daya komplek (dalam VA) dapat dihitung dari komponen simetris pada tegangan referensi (V) dan arus phasa (A) dari rangkaian tidak seimbang 3 phasa. Untuk catatan bahwa transformasi dari tegangan a-b-c dan arus untuk komponen simetris daya tidak sama. Hanya jika sebagian hasil dari urutan tegangan (V) dan urutan arus (A) dikalikan dengan 3 seperti yang terlihat pada persamaan (32), dimana daya kompleks diterapkan dalam p.u. dari tegangan basis tiga phasa.

Contoh 3:
Gunakan komponen simetris, hitung daya yang diserap pada beban dari Contoh 2 dan cek jawabannya.
Solusi :
Dalam p.u. dengan basis 3 phase 500kVA, persamaan (32) menjadi

Dari substitusi komponen tegangan dan arus dari contoh 2, didapatkan

per unit = 513,32 kW
Nilai per unit dari resistor pada masing-masing phase pada beban hubungan Y adalah 1,0 per unit. Nilai dalam ohmnya adalah

Dan persamaan nilai resistor dalam hubungan nya adalah

Dari tegangan phase-phase yang diberikan, dapat dihitung langsung